题目内容

已知函数f（x）=-xlnx+ax在（0，e）上是增函数，函数 $数学公式$ ．当x∈[0，ln3]时，函数g（x）的最大值M与最小值m的差为 $数学公式$ ，则a=________．

$\text{[math]}$
分析：根据函数f（x）=-xlnx+ax在（0，e）上是增函数，可得f'（x）=-lnx+a-1≥0在（0，e）恒成立，从而f'（x）=-lnx+a+1的最小值大于等于0即可，进而可得参数的范围；利用函数 $\text{[math]}$ ．当x∈[0，ln3]时，函数g（x）的最大值M与最小值m的差为 $\text{[math]}$ ，可求参数的值，从而可得结论．
解答：∵f（x）=-xlnx+ax，∴f'（x）=-lnx+a-1
∵函数f（x）=-xlnx+ax在（0，e）上是增函数
∴f'（x）=-lnx+a-1≥0在（0，e）恒成立
∵y=-lnx是（0，e）上的减函数
∴f'（x）=-lnx+a+1的最小值大于等于0即可，即-1+a-1≥0
∴a≥2
$\text{[math]}$
∵x∈[0，ln3]，∴e^x∈[1，3]
∴e^x=a时，函数取得最小值为 $\text{[math]}$
∵x=0时， $\text{[math]}$ ；x=ln3时， $\text{[math]}$
∴a＜2时，函数g（x）的最大值M= $\text{[math]}$ ；a≥2时，函数g（x）的最大值M= $\text{[math]}$
∵函数g（x）的最大值M与最小值m的差为 $\text{[math]}$
∴a＜2时， $\text{[math]}$ ；a≥2时， $\text{[math]}$
∴a= $\text{[math]}$ 或a= $\text{[math]}$
综上知，a= $\text{[math]}$
故答案为： $\text{[math]}$
点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查函数最值的确定，其中确定函数g（x）的最大值M与最小值m是关键．