题目内容
如图所示四面体ABCD中，AB、BC、BD两两互相垂直，且AB=BC=2，E是AC中点，异面直线AD与BE所成的角的大小为arccos
，求四面体ABCD的体积．
| ||
| 10 |
以BC、BA、BD为x轴、y轴、z轴，建立如图所示空间直角坐标系，…（2分）
由题意得A（0，2，0），C（2，0，0），E（1，1，0）
设D点的坐标为（0，0，z）（z＞0），
则
=(1，1，0)，
=(0，-2，z)…（6分）
∴
•
=
•
cosθ=-2，
∵AD与BE所成的角的大小为arccos
，可得cos2θ=
=
，
∴代入上式，解之得z=4，即BD的长度是4，…（10分）
因此，三棱锥D-ABC的体积
VD-ABC=
S△ABC•BD=
AB•BC•BD=
×2×2×4=
，
即四面体ABCD的体积是
，…（12分）
由题意得A（0，2，0），C（2，0，0），E（1，1，0）
设D点的坐标为（0，0，z）（z＞0），
则
| BE |
| AD |
∴
| AD |
| BE |
| 2 |
| 4+z2 |
∵AD与BE所成的角的大小为arccos
| ||
| 10 |
| 2 |
| 4+z2 |
| 1 |
| 10 |
∴代入上式，解之得z=4，即BD的长度是4，…（10分）
因此，三棱锥D-ABC的体积
VD-ABC=
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 6 |
| 1 |
| 6 |
| 8 |
| 3 |
即四面体ABCD的体积是
| 8 |
| 3 |
练习册系列答案
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在如图所示的四面体ABCD中，AB、BC、CD两两互相垂直，且BC=CD=1．
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