Question

如图，ABCD-A₁B₁C₁D₁是四棱柱，底面ABCD是菱形，AA₁⊥底面ABCD，AB=2，∠BAD=60°，E是AA₁的中点．
(1)求证：平面BD₁F⊥平面BB₁D₁D；
(2)若四面体D₁-ABE的体积V=1，求棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的高．

Answer 1

（1）证明：设平面，连接BF，则与△BCF的对应边互相平行，
且，所以，，
F是CC₁的中点，连接，
因为底面ABCD，所以，，，
ABCD是菱形，，且，所以面，
因为E、F分别是的中点，所以是矩形，，
所以EF⊥平面，
平面（即平面），
所以，面⊥面。
（2）因为底面ABCD，所以，是棱柱的高，
平面，平面⊥底面，
在底面上作，垂足为F，面面，
所以，面，
所以，，
其中，，，
所以，，
解得：，
即棱柱的高为。