Question

已知R上的可导函数f（x）的导函数f′（x）满足：f′（x）+f（x）＞0，且f（1）=1则不等式f（x）＞

1

ex-1

的解是

 

．

Answer 1

分析：由f（x）＞

1

ex-1

可知e^xf（x）＞e，构造函数g（x）=e^xf（x）-e，然后利用导数研究函数的单调性即可．

解答：解：构造函数g（x）=e^xf（x）-e，
则g'（x）=e^xf（x）+e^xf'（x）=e^x（f'（x）+f（x）），
∵f′（x）+f（x）＞0，e^x＞0，
∴g'（x）=e^xf（x）+e^xf'（x）=e^x（f'（x）+f（x））＞0，
即函数g（x）在R上单调递增，是增函数．
∵f（1）=1，
∴g（1）=ef（1）-e=e-e=0，
∴当x＞1时，g（x）＞g（1），
即g（x）＞0，
∴g（x）=e^xf（x）-e＞0，
即不等式f（x）＞

1

ex-1

成立，
此时x＞1，
故不等式的解集为（1，+∞），
故答案为：（1，+∞）．

点评：本题主要考查不等式的解法，根据不等式的性质，构造函数g（x）=e^xf（x）-e，利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键，综合性较强．