题目内容

在△ABC中，∠A=60°，M是AB的中点，若|AB|=2，|BC|=2 $数学公式$ ，D在线段AC上运动，则 $数学公式$ 的最小值为________．

$\text{[math]}$
分析：把向量用 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 表示，可化简数量积的式子为 $\text{[math]}$ ，由余弦定理可得AC的长度，进而可得 $\text{[math]}$ 的范围，由二次函数区间的最值可得答案．
解答：∵ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
故 $\text{[math]}$ =（ $\text{[math]}$ ）•（ $\text{[math]}$ ）
= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
设AC=x，由余弦定理可得 $\text{[math]}$ ，
整理得x²-2x-8=0，解得x=4或x=-2（舍去），
故有 $\text{[math]}$ ∈[0，4]，由二次函数的知识可知当 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 时，
$\text{[math]}$ 取最小值 $\text{[math]}$
故答案为： $\text{[math]}$
点评：本题考查平面向量的数量积的运算，涉及余弦定理和二次函数的最值，属中档题．

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