Question

（本小题满分13分）

如图，椭圆的顶点为，焦点为，.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

 (Ⅱ)设n 为过原点的直线，是与n垂直相交于P点，与椭圆相交于A, B两点的直线，.是否存在上述直线使成立？若存在，求出直线的方程；并说出；若不存在，请说明理由.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）

(Ⅱ) 使成立的直线不存在.

【解析】本题主要考查圆锥曲线，以及运用代数的思想来解决椭圆和直线之间的一些几何问题，让考生充分体会解析几何的本质，也考查考生做题的仔细程度．

(Ⅰ)由知a²+b²=7,                ①

由知a=2c,           ②

又b²=a²-c²                                     ③

由 ①，②，③解得a²=4,b²=3,

故椭圆C的方程为

 (Ⅱ) 设A,B两点的坐标分别为

假设使成立的直线l存在，

(i)  当l不垂直于x轴时，设l的方程为,

由l与n垂直相交于P点且得

，即.

由得

将代入椭圆方程，得

 ，

由求根公式可得                  ④

                                   ⑤

 

 

将④，⑤代入上式并化简得

           ⑥

将代入⑥并化简得，矛盾.

即此时直线不存在.

（ii）当垂直于轴时，满足的直线的方程为，

则A,B两点的坐标为或

当时，

当时，

∴ 此时直线也不存在.

综上可知，使成立的直线不存在.

点评：本题主要对圆锥曲线中的椭圆进行了考查，问题的设置上比较简单，但第二问运算量大，学生不易得分，是一道即考查学生基础知识又考查运算，分析能力的题．