Question

已知{a_n} 是首项为1，公差为1的等差数列；若数列{b_n} 满足b1=1，b_n+1=b_n+2^a_n．
（1）求数列{b_n} 的通项公式；
（2）求数列{b_n} 的前n项和．

Answer 1

分析：（1）利用{a_n}是首项为1，公差为1的等差数列，可得{a_n}的通项，利用叠加法，可得数列{b_n}的通项公式；
（2）利用分组求和，结合等比数列的求和公式，即可求数列{b_n}的前n项和．

解答：解：（1）由已知，∵{a_n}是首项为1，公差为1的等差数列，
∴a_n=n，
∵b_n+1=b_n+2^a_n，
∴b_n+1-b_n=2ⁿ，
∵b₁=1，∴b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（b₂-b₁）+b₁=2n-1+2n-2+…+2+1=

1-2n

1-2

=2n-1；
（2）Sn=b1+b2+…+bn=21-1+22-1+…+2n-1=

2(1-2n)

1-2

-n=2n+1-2-n

点评：本题考查数列的通项与求和，考查叠加法的运用，考查等比数列的求和公式，属于中档题．