Question

（2013•东城区模拟）已知函数f(x)=

1

2

x2-ax+(a-1)lnx
（Ⅰ）若a=2，求函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据函数在切点处的导数值是函数的切线斜率求出切线的斜率，据直线方程的点斜式求出函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程．
（Ⅱ）求出函数的导数，令导数为零求出两根，讨论两根的大小，判断出导数在各个区间上的正负，求出函数的单调区间．

解答：解：（Ⅰ）当a=2时，f(x)=

1

2

x2-2x+lnx
∴f′(x)=x-2+

1

x

∴f(1)=

1

2

-2=-

3

2

，f'（1）=0
切线方程为y=-

3

2

…（4分）
（Ⅱ）定义域（0，+∞）
f′(x)=x-a+

a-1

x

=

x2-ax+(a-1)

x

=

(x-1)(x+1-a)

x

令f'（x）=0，解得x₁=1，x₂=a-1
①当a=2时，f'（x）≥0恒成立，则（0，+∞）是函数的单调递增区间
②当a＞2时，a-1＞1，
在区间（0，1）和（a-1，+∞）上，f'（x）＞0；在（1，a-1）区间上f'（x）＜0，
故f（x）的单调递增区间是（0，1）和（a-1，+∞），单调递减区间是（1，a-1）
③当1＜a＜2时，在区间（0，a-1）和（1，+∞）上，f'（x）＞0；在（a-1，1）区间上f'（x）＜0，
故f（x）的单调递增区间是（0，a-1）和（1，+∞），单调递减区间是（a-1，1）
④当a≤1时，a-1≤0，在区间（0，1）上f'（x）＜0，在区间（1，+∞）上，f'（x）＞0，
故f（x）的单调递增区间是（1，+∞），单调递减区间是（0，1）．
总之，当a=2时，（0，+∞）是函数的单调递增区间
②当a＞2时，f（x）的单调递增区间是（0，1）和（a-1，+∞），单调递减区间是（1，a-1）
③当1＜a＜2时，f（x）的单调递增区间是（0，a-1）和（1，+∞），单调递减区间是（a-1，1）
④当a≤1时，f（x）的单调递增区间是（1，+∞），单调递减区间是（0，1）．…（13分）

点评：本题考查函数切线的斜率的求法：函数在切点处的导数值是函数的切线斜率；函数的单调区间与导函数符号的关系：正增负减；考查分类讨论的数学思想方法．