Question

（文科）在四棱锥S-ABCD中，AB⊥AD，AB∥CD，CD=3AB=3，平面SAD⊥平面ABCD，E是线段AD上一点，AE=ED=

3

，SE⊥AD．
（Ⅰ）证明：平面SBE⊥平面SEC；
（Ⅱ）若SE=1，求三棱锥E-SBC的高．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由平面SAD⊥平面ABCD，知SE⊥平面ABCD，所以SE⊥BE，由四边形ABCD是直角梯形，AB∥CD，AE=AB，DE=DC，知△EAB，△EDC都是等腰直角三角形，所以BE⊥CE，由此能够证明平面SBE⊥平面SEC．
（Ⅱ）由题设条件求出V_S-CBE=

2 3

3

，设三棱锥E-SBC的高为h，由三棱锥E-SBC与三棱锥S-CBE的体积相等，能求出三棱锥E-SBC的高．

解答：（Ⅰ）证明：∵平面SAD⊥平面ABCD，平面SAD∩平面ABCD=AD，SE?平面SAD，SE⊥AD
∴SE⊥平面ABCD，（1分）
∵BE?平面ABCD，∴SE⊥BE．（2分）
∵四边形ABCD是直角梯形，AB∥CD，AE=

3

AB=

3

，DC=

3

DE=3，
∴△EAB∽△EDC，
∴∠AEB+∠CEF=90°，∠BEC=90°，BE⊥CE．（4分）
∵SE?平面SEC，CE?平面SEC，SE∩CE=E，
∴BE⊥平面SEC，
∵BE?平面SBE，∴平面SBE⊥平面SEC．
（Ⅱ）∵AB⊥AD，AB∥CD，CD=3AB=3，AE=ED=

3

，SE⊥AD，
∴BE=

1+3

=2，CE=

9+3

=2

3

，
SB=

4+1

=

5

，SC=

12+1

=

13

，BC=

(2 3 )2+(3-1)2

=4，
∴cos∠SBC=

5+16-13

2 5 • 16

=

5

5

，
∴sin∠SBC=

2 5

5

，
∴S_△SBC=

1

2

×

5

×4×

2 5

5

=4，（8分）
∵SE=1，∴V_S-CBE=

1

3

×SE×

1

2

×BE×CE=

1

3

×1×

1

2

×2×2

3

=

2 3

3

，（10分）
设三棱锥E-SBC的高为h，
∵三棱锥E-SBC与三棱锥S-CBE的体积相等，
∴

1

3

hS△SBC=

2 3

3

，即

4

3

h=

2 3

3

，
∴h=

3

2

．
故三棱锥E-SBC的高为

3

2

．（12分）

点评：本题综合考查了面面垂直的性质定理，线面垂直的判定定理，线面垂直的性质定理以及棱锥的体积公式等，涉及到的知识较多，综合性很强，对答题者根据题设条件及要解决的问题进行知识的重新组合、灵活转化的能力要求较高．