题目内容

在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且向量 $数学公式$ =（sinA，cosA）， $数学公式$ =（cosC，sinC），且 $数学公式$ ．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若△ABC的面积是 $数学公式$ ，且a+c=5，求b．

解：（1）∵ $\text{[math]}$ =sinAcosC+cosAsinC=sin2B，且sin2B=2sinBcosB
∴sin（A+C）=2sinBcosB，即sin（π-B）=2sinBcosB，
∵sin（π-B）=sinB，且sinB是正数，∴cosB= $\text{[math]}$ ，
∵B∈（0，π），∴B= $\text{[math]}$
（2）由正弦定理，得S_△ABC= $\text{[math]}$ acsinB= $\text{[math]}$
∵B= $\text{[math]}$ ，得sinB= $\text{[math]}$ ，∴ac=3
又∵a+c=5，∴a²+c²=（a+c）²-2ac=25-6=19
根据余弦定理，得：
b²=a²+c²-2accosB=19-2×3× $\text{[math]}$ =16
∴b=4（舍负）
分析：（1）由数量积的坐标公式，结合两角和的正弦公式和二倍角正弦公式列式并化简，得sin（A+C）=2sinBcosB，再由sin（A+C）=sinB在等式两边约去sinB可得cosB= $\text{[math]}$ ，结合三角形内角取值范围，可得角B的大小；
（2）根据正弦定理的面积公式，结合题中的数据算出ac=3，再配方得到a²+c²=19，最后利用余弦定理算出b²的值，即可得边b的值．
点评：本题以平面向量的数量运算为载体，考查了用正余弦定理解三角形、两角和的正弦公式和二倍角的正弦公式等知识，属于中档题．