Question

设数列的前n项和为，，且成等比数列，当时，．
（1）求证：当时，成等差数列；
（2）求的前n项和．

Answer 1

(1)证明过程详见解析;(2)

试题分析：
(1)利用和之间的关系(),可以得到关于的关系式,再利用十字相乘法可以求的,再根据题意当时，,则有式子成立,即成等差数列.
(2)利用第(1)问的结果可以得到的通项公式,即前11项成等比数列,从11项开始成等差数列,即为一个分段,则其前n项和也要分段讨论,即分为与进行求解.利用等差与等比数列前n项和公式即可得到相应的.
试题解析：
（1） 由，，
得，              4分
当时，，所以，
所以当时，成等差数列．                     7分
（Ⅱ）由，得或
又成等比数列，所以（），，
而，所以，从而．
所以，                      11分
所以．                  14分