Question

已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，则下列函数中是奇函数的是

②④

（填序号）．
①y=f（|x|）；②y=f（-x）；③y=x•f（x）；④y=f（x）+x．

Answer 1

分析：利用函数奇偶性的定义，先判断函数定义域是否关于原点对称，然后探讨f（-x）与f（x）的关系，若f-x）=f（x）则函数为偶函数，若f（-x）=-f（x），则函数为奇函数．

解答：解：∵函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，∴①y=f（|x|）；②y=f（-x）；③y=x•f（x）；④y=f（x）+x．的定义域都是R
对于①、∵f（x）的定义域为R，∴f（|-x|）=f（|x|），
∴y=f（|x|）是偶函数；
对于②、令F（x）=f（-x），
则F（-x）=f（x）=-f（-x）=-F（x），
∴F（x）是奇函数，∴②是奇函数；
对于③、令M（x）=x•f（x），
则M（-x）=-x•f（-x）=x•f（x）=M（x），
∴M（x）是偶函数；
对于④、令N（x）=f（x）+x，
则N（-x）=f（-x）-x=-f（x）-x
=-[f（x）+x]=-N（x），
∴N（x）是奇函数，故②、④是奇函数．
故答案为：②④

点评：本题考查了函数奇偶性的判断，同时考查了常见函数的奇偶性，是个基础题．