Question

已知不等式3x-x²-t＞0的解集为{x|1＜x＜m，x∈R}．
（1）求t，m的值；
（2）解关于x的不等式：0＜-mx²+3x+2-t＜1．

Answer 1

分析：（1）根据已知条件中不等式的解集，得到关于x的方程3x-x²-t=0的两根分别为x₁=1，x₂=m，利用根与系数的关系建立关于m、t的方程组，解之即可得到实数t，m的值；
（2）由（1）的结论，得到不等式0＜-mx²+3x+2-t＜1即0＜-2x²+3x＜1，化为

2x2-3x＜0 2x2-3x+1＞0

并分别解一元二次不等式，取交集即可得到原不等式的解集．

解答：解：（1）∵关于x的不等式3x-x²-t＞0的解集为{x|1＜x＜m，x∈R}．
∴关于x的方程3x-x²-t=0的两根分别为x₁=1，x₂=m，且m＞1
因此可得

1+m=3 1×m=t

，解之得m=t=2；
（2）由（1），关于x的不等式：0＜-mx²+3x+2-t＜1即0＜-2x²+3x＜1
整理，得

2x2-3x＜0 2x2-3x+1＞0

，即

0＜x＜ 3 2 x＜ 1 2 或x＞1

因此，原不等式组的解集为（0，

1

2

）∪（1，

3

2

）

点评：本题给出含有字母参数的一元二次不等式，在已知解集的情况下求参数m、t的值，并依此解另一个关于x的不等式．着重考查了等知识，属于基础题．