Question

已知动圆C经过点F（0，1），并且与直线y=-1相切，若直线3x-4y+20=0与圆C有公共点，则圆C的面积（　　）

• A、有最大值为π
• B、有最小值为π
• C、有最大值为4π
• D、有最小值为4π

Answer 1

分析：因为直线3x-4y+20=0与圆C有公共点，则直线与圆相切或相交，而点F（0，1）在直线3x-4y+20=0的下方，所以直线3x-4y+20=0与圆相切时圆最小，再求得此时的半径，从而求得面积．
另外，本题还可根据由于圆经过点F（0，1）且与直线y=-1相切，所以圆心C到点F与到直线y=-1的距离相等，由抛物线的定义知点C的轨迹方程为x²=4y，根据点、直线间的距离公式列出方程求r的最值来求解本题．

解答：解法一：设圆的标准方程为（x-a）²+（y-b）²=r²
则根据题意：

(0-a)2+(1-b)2=r2 |b+1 =r |3a-4b+20 5 =r

解得：r=2
故最小的圆的面积是4π
解法二：由抛物线的定义知点C的轨迹方程为x²=4y，设C点坐标为（x，

x2

4

），
∵⊙C过点F，∴半径r=|CF|=

(x-0)2+( x2 4 -1)2

=

x2

4

+1，
直线3x-4y+20=0圆C有公共点，即转化为点（x，

x2

4

）到直线3x-4y+20=0的距离d=

|3x-4× x2 4 +20|

5

≤

x2

4

+1
解得x≥

10

3

或x≤-2，从而得圆C的半径r=

x2

4

+1≥2，故圆的面积有最小值4π．

点评：本题主要考查点与圆、线与圆的位置关系在求圆的方程中的应用．