Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

6

3

且过点（0，1）．
（I）求此椭圆的方程；
（II）已知定点E（-1，0），直线y=kx+2与此椭圆交于C、D两点．是否存在实数k，使得以线段CD为直径的圆过E点．如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

（I）根据题意，

c a = 6 3 a2=b2+c2 b=1

，解得

a2=3 b2=1 c2=2

．
∴椭圆方程为

x2

3

+y2=1．
（II）将y=kx+2代入椭圆方程，得（1+3k²）x²+12kx+9=0，
由直线与椭圆有两个交点，∴△=（12k）²-36（1+3k²）＞0，解得k²＞1．（*）
设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），则x1+x2=

-12k

1+3k2

，x1x2=

9

1+3k2

，（**）
若以CD为直径的圆过E点，则

EC

•

ED

=0，即（x₁+1）（x₂+1）+y₁y₂=0，
而y₁y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）=k²x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4，代入上式得
(x1+1)(x2+1)+k2x1x2+2k(x1+x2)+4=0，
化为（k²+1）x₁x₂+（2k+1）（x₁+x₂）+5=0．
把（**）代入上式得

9k2

1+3k2

-

12k(2k+1)

1+3k2

+5=0
解得k=

7

6

，满足k²＞1．
所以存在k=

7

6

使得以线段CD为直径的圆过E点．