Question

已知圆C过点Q（-1，1），且与圆(x＋3)²＋(y＋3)²＝r²（＞0）关于直线x＋y＋3＝0对称．

（Ⅰ）求圆C的方程；

（Ⅱ）在圆C上探索一点P（P在第一象限），过点P作两条直线分别与圆C相交于点A、B，且直线PA和直线PB的倾斜角互补， O为坐标原点，使得直线OP∥AB，并请说明理由．

Answer 1

解：（1）依题意，可设圆C的方程为(x－a)²＋(y－b)²＝r²，  …… 1分

且a、b满足方程组                     ……3分

由此解得a＝b＝0  ．                                  ……5分

又因为点Q（-1，1）在圆C上，所以

．         ……6分

故圆C的方程为x²＋y²＝2．                        ……7分

（2）P（1，1），由题意可知，直线和直线的斜率存在且互为相反数，

故可设所在的直线方程为，所在的直线方程为．

由  消去，并整理得 ：

．  ①       

设，又已知P ，则、1为方程①的两相异实数根，由根与系数的关系得  ．同理，若设点B ，则可得．

于是  ＝=1．  

而直线OP的斜率也是1，且两直线不重合，因此，直线OP与AB平行．