Question

设函数f（x）是定义在[-1，0）∪（0，1]上的偶函数，当x∈[-1，0）时，f（x）=x³-ax
（1）求f（x）的解析式；
（2）是否存在实数a，使得当x∈（0，1]时，f（x）有最大值1？

Answer 1

分析：（1）利用函数的奇偶性，求f（x）的解析式；
（2）求函数的导数，利用导数研究使得当x∈（0，1]时，f（x）有最大值1成立的条件，即可求解a．

解答：解：（1）若x∈（0，1]，则-x∈[-1，0），
当x∈[-1，0）时，f（x）=x³-ax
∴f（-x）=-x³+ax，
∵f（x）是定义在[-1，0）∪（0，1]上的偶函数，
∴f（-x）=-x³+ax=f（x），
即f（x）=-x³+ax，x∈（0，1]，
∴f(x)=

x3-ax，x∈[-1，0) -x3+ax，x∈(0，1]

；    
（2）当x∈（0，1]时，f（x）=-x³+ax，
∴f'（x）=-3x²+a，
∵0＜x²≤1，∴-3≤-3x²＜0，
当a＞3时，f（x）在（0，1]上递增，
∴f（x）的最大值为f（1）=a-1=1，
即a=2，不合题意．
当0≤a≤3时，f'（x）=-3x²+a，令f'（x）=0，解得x=

a 3

，
列表如下：

x	（0， a 3 ）	a 3	（ a 3 ，1）
f'（x）	+	0	-
f（x）	递增	最大值	递减

∴f（x）在x=

a 3

处取得最大值-（

a 3

） 3+a•

a 3

=1，解得a=

3	27 4

＜3．
当a＜0，f'（x）=-3x²+a＜0，f（x）在（0，1]上递减，故f（x）无最大值，不合题意．
综上所述，存在实数a=

3	27 4

，使得当x∈（0，1]时，f（x）有最大值1．

点评：本题主要考查函数奇偶性的应用，以及利用导数研究函数的最值，要求熟练掌握导数在研究函数中的应用．