Question

如图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．

（Ⅰ）求此人到达当日空气重度污染的概率；
（Ⅱ）设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望．

Answer 1

分析：设A_i表示事件“此人于3月i日到达该市”（=1，2，…，13）．根据题意，P(Ai)=

1

13

，且A_i∩A_j=∅（i≠j）．
（I）设B为事件“此人到达当日空气重度污染”，则B=A₅∪A₈，利用互斥事件的概率计算公式即可得出．
（II）由题意可知，X的所有可能取值为0，1，2，且P（X=1）=P（A₃）+P（A₆）+P（A₇）+P（A₁₁），P（X=2）=P（A₁）+P（A₂）+P（A₁₂）+P（A₁₃），P（X=0）=1-P（X=1）-P（X=2），即可得出．

解答：解：设A_i表示事件“此人于3月i日到达该市”（=1，2，…，13）．
根据题意，P(Ai)=

1

13

，且A_i∩A_j=∅（i≠j）．
（I）设B为事件“此人到达当日空气重度污染”，则B=A₅∪A₈，
∴P（B）=P（A₅∪A₈）=P（A₅）+P（A₈）=

2

13

．
（II）由题意可知，X的所有可能取值为0，1，2，且
P（X=1）=P（A₃∪A₆∪A₇∪A₁₁）=P（A₃）+P（A₆）+P（A₇）+P（A₁₁）=

4

13

，
P（X=2）=P（A₁∪A₂∪A₁₂∪A₁₃）=P（A₁）+P（A₂）+P（A₁₂）+P（A₁₃）=

4

13

，
P（X=0）=1-P（X=1）-P（X=2）=

5

13

，
∴X的分布列为：
       
故X的期望EX=0×

5

13

+1×

4

13

+2×

4

13

=

12

13

．

点评：本题考查了古典概型的概率计算公式、互斥事件的概率计算公式、对立事件的概率计算公式、随机变量的分布列及其数学期望，属于中档题．