Question

已知函数f（x）=log3（ax+b）的图象经过点A（2，1）和B（5，2），记a_n=3^f（n），n∈N^*   
（1）求数列{a_n}的通项公式
（2）设b_n=

an

2n

，求数列{b_n}的前n项和T_n  
（3）在（2）的条件下，判断数列{T_n }的单调性，并给出证明．

Answer 1

分析：（1）先由函数f（x）=log₃（ax+b）的图象经过点A（2，1）和B（5，2），求出a，b，进而求得函数f（x）的解析式，即可求出数列{a_n}的通项公式；
（2）用错位相减法求出T_n的表达式即可求出对应的m的最小值；
（3）根据（2）中数列{T_n }的通项公式，我们不妨构造函数f（n）=

2n+3

2n

，n∈n^*，并判断出函数的单调性，再根据数列{T_n }的单调性与函数f（n）的单调性相反，易得到数列{T_n }的单调性．

解答：解：（1）由题意得

log3(2a+b)=1 log3(5a+b)=2

，解得

a=2 b=-1

，（2分）
∴f（x）=log₃（2x-1）
an=3log3(2n-1)=2n-1，n∈N*（4分）
（2）由（1）得 bn=

2n-1

2n

，∴Tn=

1

21

+

3

22

+

5

23

+…+

2n-3

2n-1

+

2n-1

2n

①…5分

1

2

Tn= 

1

22

+

3

23

+…+

2n-5

2n-1

+

2n-3

2n

+

2n-1

2n+1

②…7分
①-②得

1

2

Tn=

1

21

+

2

22

+

2

23

+…+

2

2n-1

+

2

2n

-

2n-1

2n+1

=

1

21

+2(

1

21

+

1

22

+…+

1

2n-2

+

1

2n-1

)-

2n-1

2n+1

=

3

2

-

1

2n-1

-

2n-1

2n+1

，
∴Tn=3-

1

2n-2

-

2n-1

2n

=3-

2n+3

2n

，（10分）
（3）数列{T_n }为递增数列
∵T_n=3-

2n+3

2n

，令f（n）=

2n+3

2n

，n∈n^*，
∴f（n+1）-f（n）=

2n+5

2n+1

-

2n+3

2n

=

-2n-1

2n+1

＜0…13分
故函数f（n）=

2n+3

2n

，n∈n^*为减函数，
则数列{T_n }为递增数列…14分

点评：本题考查的知识点是数列与函数的综合应用，数列的求和，其中第二问考查了数列求和的错位相减法．错位相减法适用于通项为一等差数列乘一等比数列组成的新数列．