Question

已知数列{a_n}的前n项和是S_n，且2S_n+a_n=1（n∈N^*）．
（Ⅰ） 求证：数列{a_n}是等比数列；
（Ⅱ） 记b_n=10+log₉a_n，求{b_n}的前n项和T_n的最大值及相应的n值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由2s_n+a_n=1（n∈N*）．可求得a₁=

1

3

，

an

an-1

=

1

3

，由等比数列的定义可以证明数列a_n是等比数列；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得an=(

1

3

)n，bn=10+log9an=10-

n

2

，当n满足

bn≥0 bn+1≤

0时，可以求得T_n的最大值．

解答：解：（Ⅰ） 2s_n+a_n=1，2s_n-1+a_n-1=1（n≥2，n∈N*）相减得3a_n=a_n-1（3分）
又2s₁+a₁=1得a1=

1

3

∴a_n≠0（5分）
∴

an

an-1

=

1

3

(n≥2，n∈N*)
∴数列{a_n}是等比数列 （7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知数列{a_n}是等比数列，an=(

1

3

)nbn=10+lo

g

9

an=10-

1

2

n，（10分）
当T_n最大值时  

bn≥0 bn+1≤0

⇒19≤n≤20
∵n∈N^*，∴n=19或n=20（12分）
∴(Tn)max=T19=T20=

20× 19 2

2

=95（14分）

点评：本题考查等比数列的通项和数列求和，解题关键是合理转化条件，利用等比数列的定义求通项，解决数列求和的关键是裂项，通过列项，出现正负相消，从而可求s_n．