Question

（2011•武汉模拟）如图，在四棱锥P-ABCD中，△PCD为等边三角形，四边形ABCD为矩形，平面PDC丄平面ABCD，M、N、E分别是AB、PD、PC的中点，AB=2AD．
（Ⅰ）求证DE丄MN；
（Ⅱ）求二面角B-PA-D的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）建立空间直角坐标系：过P作PO⊥CD于O，则O为CD的中点，由平面PDC丄平面ABCD，知PO⊥平面ABCD，用坐标表示向量

DE

，

MN

，进而证明

DE

•

MN

=0，从而得证；
（Ⅱ）分别求出平面PAB、平面PAD的一个法向量，再利用数量积公式求夹角．

解答：解：（Ⅰ）过P作PO⊥CD于O，则O为CD的中点
∵平面PDC丄平面ABCD，∴PO⊥平面ABCD
建立如图所示的直角坐标系，设AD=2，则AB=4
∴D(0，-2，0)，E(0，1，

3

)，P(0，0，2

3

)A(2，-2，0)，B(2，2，0)，M(2，0，0)，N(0，-1，

3

)
∴

DE

=(0，3，

3

)，

MN

=(-2，-1，

3

)
∴

DE

•

MN

=0，∴

DE

⊥

MN

∴DE丄MN；
（Ⅱ）设

u

=(x1，y1，1)为平面PAB的一个法向量，而

PA

=(2，-2，-2

3

)，

AB

=(0，4，0)
由

u

•

PA

=

u

•

AB

=0得

2x1-2y1-2 3 =0 4y1=0

∴

u

=(

3

，0，1)
又设

v

=(x2，y2，1)为平面PAD的一个法向量，而

AD

=(-2，0，0)
由

v

•

PA

=

v

•

AB

=0得

2x2-2y2-2 3 =0 4-2x2=0

∴

v

=(0 ，

3

，1)
∴cos＜

u

，

v

＞=

1

4

从而可知，二面角B-PA-D的余弦值为-

1

4

点评：本题的考点是用空间向量求平面角的夹角，主要考查空间直角坐标系的建立，考查用坐标表示向量，考查用空间向量的方法解决线线位置关系，求二面角的平面角．