Question

已知等差数列{a_n}的公差为d，且a₂=3…a₅=9，数列{b_n}的前n项和为s_n，且s_n=1-

1

2

b_n（n∈N⁺）
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）记c_n=

2an

bn

求证：数列{c_n}的前n项和 T_n≥3．

Answer 1

分析：（1）利用等差数列的通项公式求出公差，首项，利用等差数列的通项公式求出通项；通过仿写作差，构造新数列，利用等比数列的通项公式求出}{b_n}的通项公式．
（2）将数列{a_n}，{b_n}的通项公式代入c_n，据它是一个等差数列与一个等比数列的乘积，所以利用错位相减法求出数列的前n项和．

解答：解：（1）d=

a5- a2

3

=2，a₁=1
∴a_n=2n-1
在sn=1-

1

2

bn中，令n=1得b1=

2

3

当n≥2时，sn=1-

1

2

bn    sn-1=1-

1

2

bn-1，
两式相减得bn=

1

2

bn-1-

1

2

bn，
∴

bn

bn-1

=

1

3

(n≥2)
bn=

2

3

(

1

3

)n-1=

2

3n

（2）cn=

2an

bn

=(2n-1)×3n，
T_n=1×3¹+3×3²+5×3³++（2n-3）×3^n-1+（2n-1）×3ⁿ，
3T_n=1×3²+3×3³+5×3⁴++（2n-3）×3ⁿ+（2n-1）×3ⁿ⁺¹，
-2T_n=3+2（3²+3³++3ⁿ）-（2n-1）×3ⁿ⁺¹=3+2×

9(1-3n-1)

1-3

-(2n-1)×3n+1
∴T_n=3+3ⁿ⁺¹×（n-1）
∵n∈N⁺∴T_n≥3

点评：求数列的前n项和时，常采用求出数列的通项，利用通项的特点，选择合适的求和方法．