Question

已知等比数列{a_n}的各项均为正数，且2a₁+3a₂=1，a₃²=9a₂a₆．
（I）若数列{b_n}满足：bn=

1

an

+lnan，求数列{b_n}的前n项和S_n；
（Ⅱ）设c_n=log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a_n，Tn=

1

c1

 +

1

c2

+…+

1

cn

求使k

n•2n+1

(n+1)

≥(7-2n)Tn（n∈N^*）恒成立的实数k的范围．

Answer 1

分析：（I）先根据2a₁+3a₂=1，a₃²=9a₂a₆求出等比数列的通项；进而求出数列{b_n}的通项，最后集合分组求和即可得到数列{b_n}的前n项和S_n；
（Ⅱ）先求出c_n得表达式，再利用裂项求和求出T_n；进而把k

n•2n+1

(n+1)

≥(7-2n)Tn（n∈N^*）恒成立转化为k≥

2n-7

2n

恒成立，最后求出不等式右边的最大值即可．

解答：解：（Ⅰ）设数列{a_n}的公比为q，由a32=9a₂a₆得a32=9a42
所以q²=

1

9

．
由条件可知q＞0，故q=

1

3

．
由2a₁+3a₂=1得2a₁+3a₁q=1，所以a₁=

1

3

．
故数列{a_n}的通项式为a_n=

1

3n

∴b_n=3ⁿ+ln(

1

3

)n=3ⁿ-nln3．
所以S_n=

3n+1-3

2

-

n(n+1)

2

ln3．
（Ⅱ）∵C_n=log₃ a1+log₃a₂+…+log₃a_n，
=-（1+2+…+n）=-

n(n+1)

2

故

1

Cn

=-

2

n(n+1)

=-2（

1

n

-

1

n+1

），
T_n=

1

C1

+

1

c2

+…+

1

cn

=-2[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）]=-

2n

n+1

所以数列{

1

cn

}的前n项和为-

2n

n+1

．
k

n•2n+1

(n+1)

≥(7-2n)Tn（n∈N^*）化简得k≥

2n-7

2n

恒成立
设d_n=

2n-7

2n

，则d_n+1-d_n=

2(n+1)-7

2n+1

-

2n-7

2n

=

9-2n

2n

．
当n≥5，d_n+1≤d_n，{d_n}为单调递减数列，1≤n＜5，d_n+1＞d_n，{d_n}为单调递增数列
当n≥5，c_n+1≤c_n，{c_n}为单调递减数列，当1≤n＜5，c_n+1＞c_n，{c_n}为单调递增数列

1

16

=d₄＜d₅=

3

32

，所以，n=5时，d_n取得最大值为

3

32

所以，使k

n•2n+1

(n+1)

≥(7-2n)Tn（n∈N^*）恒成立的实数k≥

3

32

．

点评：本题主要考察数列与不等式的综合以及数列求和的分组求和法，是对数列知识的综合考察，属于中档题目．