Question

以F₁（0，-1），F₂（0，1）为焦点的椭圆C过点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点的动直线l交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得无论l如何转动，以AB为直径的圆恒过点T？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）椭圆过点P，则由椭圆的定义知2a=|PF₁|+|PF₂|=，由此可求出椭圆C的方程．
（II）解法一：若直线l与x轴重合，则以AB为直径的圆是x²+y²=1；若直线l垂直于x轴时，则以AB为直径的圆是
由，由此可求出点T的坐标．
解法二：如果存在定点T（u，v）满足条件．若直线l垂直于x轴时，则以AB为直径的圆经过点（1，0）；若直线l不垂直于x轴时，可设直线l：．由，整理得，然后利用根与系数的关系进行求解．
解答：解：（I）设椭圆方程为（a＞b＞0），∵椭圆过点P，则由椭圆的定义知
2a=|PF₁|+|PF₂|=
所以，，b²=a²-c²=1，
椭圆C的方程为．
（II）解法一：
若直线l与x轴重合，则以AB为直径的圆是x²+y²=1；
若直线l垂直于x轴时，则以AB为直径的圆是
由解得，所以两圆相切于点（1，0）．
因此，如果存在点T满足条件，则该点只能是（1，0）
下面证明T（1，0）就是所求的点．
若直线l垂直于x轴时，
则以AB为直径的圆经过点（1，0）；
若直线l不垂直于x轴时，可设直线l：
由，整理得
记A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），则
又因为，，
则=（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂
==
=
所以，TA⊥TB，即以AB为直径的圆恒过定点T（1，0），
故平面上存在一个定点T（1，0）满足题设条件
解法二：（I）由已知c=1，设椭圆方程为．
因为点P在椭圆上，则，解得a²=2，
所以椭圆方程为
（II）如果存在定点T（u，v）满足条件．
若直线l垂直于x轴时，
则以AB为直径的圆经过点（1，0）；
若直线l不垂直于x轴时，可设直线l：．
由，整理得
记A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），则
∵又因为，，
则=（x₁-u）（x₂-u）+（y₁-v）（y₂-v）
=
=
=
=
当且仅当恒成立时，以AB为直径的圆恒过点T（u，v）．恒成立等价于，
解得u=1，v=0
所以当u=1，v=0时，无论直线l如何转动，以AB为直径的圆恒过定点T（1，0）．
故平面上存在一个定点T（1，0）满足题目条件．
点评：本题考查椭圆方程的求法和直线与椭圆位置关系，解题要注意挖掘隐含条件，合理选用公式．