Question

设函数fn(x)=-xn+3ax+b（n∈N^*，a，b∈R）．
（1）若a=b=1，求f₃（x）在[0，2]上的最大值和最小值；
（2）若对任意x₁，x₂∈[-1，1]，都有|f₃（x₁）-f₃（x₂）|≤1，求a的取值范围；
（3）若|f₄（x）|在[-1，1]上的最大值为

1

2

，求a，b的值．

Answer 1

（1）由fn(x)=-xn+3ax+b，所以当a=b=1时，f3(x)=-x3+3x+1
则

f

′3

(x)=-3x2+3=-3（x²-1）．
在（0，1）内，

f

′3

(x)＞0，在（1，2）内，

f

′3

(x)＜0，
所以在（0，1）内，f3(x)=-x3+3x+1为增函数，在（1，2）内f3(x)=-x3+3x+1为减函数．
则f₃（x）的极大值为f₃（1）=3，由f₃（0）=1，f3(2)=-23+3×2+1=-1．
所以函数f3(x)=-x3+3x+1在[0，2]上的最大值为f₃（1）=3，最小值为f₃（2）=-1；
（2）因为对任意x₁，x₂∈[-1，1]，都有|f₃（x₁）-f₃（x₂）|≤1，
所以|f₃（1）-f₃（-1）|≤1，从而有|（-1+3a+b）-（1-3a+b）|=|6a-2|≤1，
所以

1

6

≤a≤

1

2

．
又

f

′3

(x)=-3x2+3a=-3（x²-a），
在[-1，-

a

]，[

a

，1]内f^′₃（x）0，
所以f₃（x）在[-1，-

a

]，[

a

，1]内为减函数，
f₃（x）在[-

a

，

a

]内为增函数，
只需|f3(

a

)-f3(-

a

)|≤1，则|(-(

a

)3+3a

a

+b)-((

a

)3-3a

a

+b)|≤1
即4a

a

≤1，解得：a≤

1

3 16

．
所以a的取值范围是

1

6

≤a≤

1

3 16

．
（3）f4(x)=-x4+3ax+b．
由f₄（x）在[-1，1]上的最大值为

1

2

，则|f4(x)|≤

1

2

，
所以-

1

2

≤f4(1)≤

1

2

，即-

1

2

≤-1+3a+b≤

1

2

①
-

1

2

≤f4(-1)≤

1

2

，即-

1

2

≤-1-3a+b≤

1

2

②
①+②得，

1

2

≤b≤

3

2

，又因为-

1

2

≤f4(0)≤

1

2

，所以-

1

2

≤b≤

1

2

，所以b=

1

2

．
将b=

1

2

代入①得：0≤a≤

1

3

，
将b=

1

2

代入②得：-

1

6

≤a≤0．
所以a=0．
综上知a，b的值分别为0，

1

2

．