题目内容

已知函数f(x)=2sin(
1
2
x-
π
6
)，x∈R
（1）求f(
4π
3
)的值；
（2）设α，β∈[0，
π
2
]，且α＜β，f(2α+2π)=
10
13
，f(2β+π)=
6
5
，求sin（α-β）的值．
分析：（1）直接令x=
4π
3
带入解析式求解即可
（2）角的变换为α-β=（α+
5π
6
）-（β+
π
3
）-
π
2
，利用差角公式计算．注意开方时符号的确定．
解答：解：（1）f(
4π
3
)=2------------------------------------（1分）
f（2α+2π）=2sin（α+
5π
6
）=
5
13
，f(2β+π)=2sin(β+
π
3
)=
6
5

由α，β∈[0，
π
2
]，得出
5π
6
≤α+
5π
6
≤
4π
3
，所以cos（α+
5π
6
）=-
12
13

π
3
≤β+
π
3
≤
5π
6
，所以cos（β+
π
3
）=-±
4
5

因为α-β=（α+
5π
6
）-（β+
π
3
）-
π
2

所以sin(α-β)=sin[(α+
5π
6
)-(β+
π
3
)-
π
2
]=-cos[(α+
5π
6
)-(β+
π
3
)]--------------------------------------------------（2分）
=-[cos(α+
5π
6
)cos(β+
π
3
)+sin(α+
5π
6
)sin(β+
π
3
)]---------------（1分）
当cos(β+
π
3
)=
4
5
时，sin(α-β)=
33
65
又因为-
π
2
≤α-β≤0，
所以sin(α-β)=
33
65
（舍去）-------------------------------------（1分）
当cos(β+
π
3
)=-
4
5
时，因为-
π
2
≤α-β≤0，sin（α-β）＜0
所以sin(α-β)=-
63
65
-----------------------------------------------------------------------------------（1分）
（另外可以这样限角   由0≤β≤
π
2
有
π
3
≤β+
π
3
≤
5π
6

又因为
1
2
＜sin(β+
π
3
)=
3
5
＜
2
2
在[0，
π
2
]内β+
π
3
∈[
π
6
，
π
4
]
所以应该β+
π
3
∈[
π
2
，
5π
6
]所以cos(β+
π
3
)=-
4
5
）
点评：本题考查和差角三角函数公式的应用．易错点在于开方时符号的确定．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f(x)=
2-xx+1
；
（1）求出函数f（x）的对称中心；
（2）证明：函数f（x）在（-1，+∞）上为减函数；
（3）是否存在负数x0，使得f(x0)=3x0成立，若存在求出x0；若不存在，请说明理由．
已知函数f(x)=
2-x-1，x≤0
x
，x＞0
，则f[f（-2）]=
3
3
．
已知函数f(x)=2(sin2x+
3
2
)cosx-sin3x
（1）求函数f（x）的值域和最小正周期；
（2）当x∈[0，2π]时，求使f(x)=
3
成立的x的值．
已知函数f(x)=2-
ax+1
(a∈R)的图象过点（4，-1）
（1）求a的值；
（2）求证：f（x）在其定义域上有且只有一个零点；
（3）若f（x）+mx＞1对一切的正实数x均成立，求实数m的取值范围．
已知函数f(x)=
2-2cosx
+
2-2cos(
2π
3
-x)
，x∈[0，2π]，则当x=
4π
3
4π
3
时，函数f（x）有最大值，最大值为
2
3
2
3
．

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