Question

20．设等差数列{a_n}的前n和为S_n，且{$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$}是公差为d的等差数列，则d的值组成的集合为{1或$\frac{1}{2}$}．

Answer 1

分析 由{$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$}是以1首项，d为公差的等差数列，知S_n=a_n+（n-1）da_n，故S_n-1=a_n-1+（n-2）da_n-1．所以a_n=a_n+（n-1）da_n-a_n-1-（n-2）da_n-1，整理可得（n-1）da_n-（n-1）da_n-1=（1-d）a_n-1，由此入手，能够求出d．

解答 解：∵{$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$}是以1为首项，d为公差的等差数列，
∴$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$=1+（n-1）d，
∴S_n=a_n+（n-1）da_n，①
S_n-1=a_n-1+（n-2）da_n-1．②
①-②得：
a_n=a_n+（n-1）da_n-a_n-1-（n-2）da_n-1，
整理可得
（n-1）da_n-（n-1）da_n-1=（1-d）a_n-1，
假设d=0，那么$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$=1，
S₁=a₁，S₂=a₁+a₂=a₂，
∴a₁=0，∵a₁为除数，不能为0，∴d≠0．
在此假设a_n的公差为d′，∴有d′=$\frac{（1-d）{a}_{n-1}}{1-d}$，
当d=1时，d′=0，a_n是以a₁为首项，0为公差的等差数列．
当d≠1时，a_n-1=（n-1）$\frac{dd′}{1-d}$，
a_n-a_n-1=$\frac{dd′}{1-d}$=d′，
∴d=$\frac{1}{2}$，
此时，a_n是以d′为首项，d′为公差的等差数列．
综上所述，d=1，或d=$\frac{1}{2}$．
故答案为：{1或$\frac{1}{2}$}．

点评 本题考查等差数列的性质和应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大．