Question

（2012•门头沟区一模）过抛物线y=

1

2

x2焦点的直线与抛物线交于A、B两点，O是坐标原点．则

OA

•

OB

=

-

3

4

；若该抛物线上有两点M、N，满足OM⊥ON，则直线MN必过定点

（0，2）

．

Answer 1

分析：（1）由抛物线方程可求焦点F，设出直线AB的方程联立，消去y整理成关于x的一元二次方程，设出A两点坐标，由韦达定理可以求得答案．
（2）设MN的方程，联立直线与抛物线方程，根据方程的根与系数关系可得M，N的坐标的关系式，根据MO⊥NO推断出，即可

解答：解：∵抛物线y=

1

2

x2焦点F（0，

1

2

）
设过焦点F的直线AB的方程为y=kx+

1

2

，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
联立方程

y=kx+ 1 2 y=  1 2 x2

可得x²-2kx-1=0
∴x₁x₂=-1，y1y2=

1

2

x12 •

1

2

x22=

(x1x2)2

4

=

1

4

∵

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=-

3

4

设直线MN的方程为y=mx+n，M（a，b），N（c，d）
联立方程

y=mx+n y= 1 2 x2

可得x²-2mx-2n=0
则c+c=2m，ac=-2n，bd=

(ac)2

4

=n²
∵OM⊥ON
∴

OM

•

ON

=ac+bd=-2n+n²=0
∵n≠0
∴n=2，，即直线MN的方程为y=mx+2，从而可得直线MN过定点（0，2）
故答案为：-

3

4

；（0，2）

点评：本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用，两个向量的数量积公式，涉及到直线与圆锥线的问题一般是联立方程，设而不求，属于中档题．