Question

如图，直线y=x与抛物线y=x²-4交于A、B两点，线段AB的垂直平分线与直线y=-5交于Q点，
(1)求点Q的坐标；
(2)当P为抛物线上位于线段AB下方(含A、B)的动点时，求△OPQ面积的最大值。

Answer 1

解：(1)解方程组，得，
即A(-4，-2)，B(8，4)，
从而AB的中点为M(2，1)，
由k_AB=，直线AB的垂直平分线方程y-1=(x-2)，
令y=-5，得x=5，
∴Q(5，-5)。
(2)直线OQ的方程为x+y=0，设P(x，x²-4)，
∵点P到直线OQ的距离，，
∴S_ΔOPQ=，
∵P为抛物线上位于线段AB下方的点，且P不在直线OQ上，
∴-4≤x＜4-4或4-4＜x≤8，
∵函数y=x²+8x-32在区间[-4，8]上单调递增，
∴当x=8时，ΔOPQ的面积取到最大值30。