Question

已知函数f（x）=lg（2^x-b）（b为常数），若x≥1时，f（x）≥0恒成立，则b的取值范围是

（-∞，1]

．

Answer 1

分析：根据题意，结合对数函数的性质得：不等式b≤2^x-1对任意x∈[1，+∞）恒成立，再由指数函数的单调性即可求出b的最大值，从而得到b的取值范围．

解答：解：∵f（x）=lg（2^x-b），当x≥1时，f（x）≥0恒成立，
∴2^x-b≥1，对任意x∈[1，+∞）恒成立，即b≤2^x-1，
而x∈[1，+∞）时，t=2^x-1是增函数，得t=2^x-1的最小值为1，
由此可得b≤1，即b的取值范围是（-∞，1]
故答案为：（-∞，1]

点评：本题给出真数函数指数式的对数型函数，在不等式恒成立的情况下求参数b的取值范围，着重考查了基本初等函数的单调性和函数恒成立等知识点，属于基础题．