Question

对于数列{x_n}满足x₁=a（a＞2），x_n+1=

x 2 n

2(xn-1)

（n=1，2，…）．
（1）求证：2＜x_n+1＜x_n（n=1，2，3，…）；
（2）若a≤3，{x_n}前n项和为S_n，求证：S_n＜2n+

a

2

（n=1，2，…）

Answer 1

分析：（1）利用数学归纳法证明，验证n=1命题成立，然后假设n=k时命题成立，然后证明n=k+1时命题也成立．
（2）利用x_n+1=

x 2 n

2(xn-1)

，推出x_n+1-2≤

1

4

（x_n-2），如果求和，得到s_n-2n＜

4

3

（a-2），然后证明结果．

解答：证明：（1）（数学归纳法）先证：x_n＞2．
∵当n=1时，x₁=a＞2成立
假设n=k时，x_k＞2．
则：x_k+1=

x 2 k

2(kx-1)

=

1

2

•

[(xk-1)+1]2

xk-1

=

1

2

[（x_k-1）+

1

xk-1

+2]＞

1

2

×4=2
∴x_n＞2
又：x_n+1-x_n=

x 2 n

2(xn-1)

-x_n=

xn(2-xn)

2(xn-1)

＜0
∴x_n＞x_n+1，
就是说n=k+1时2＜x_n+1＜x_n（n=1，2，3，…）也成立．
综上知：2＜x_n+1＜x_n
（2）x_n+1-2=

x 2 n

2(xn-1)

-2=

(xn-2)2

2(xn-1)

=

xn-2

2(xn-1)

•（x_n-2）
∵2＜x_n≤x₁≤3
∴

xn-2

2(xn-1)

=

1

2

[1-

1

xn-1

]≤

1

2

•（1-

1

2

）=

1

4

∴x_n+1-2≤

1

4

（x_n-2）
∴x_n-2≤（

1

4

）^n-1•（x₁-2）=（

1

4

）^n-1•（a-2）
∴s_n-2n=

n

i=1

(xi-2)≤

n

i=1

(

1

4

)i-1•（a-2）＜（a-2）•

1

1- 1 4

=

4

3

（a-2）
∵

4

3

（a-2）-

a

2

=

5a-16

6

＜0
∴

4

3

（a-2）＜

a

2

∴s_n-2n＜

a

2

   
 即s_n＜2n+

a

2

点评：本题考查数列与不等式的综合，数学归纳法的应用，放缩法的应用，考查转化思想，计算能力．