Question

若函数f（x）为定义域D上单调函数，且存在区间[a，b]D（其中a＜b），使得当x∈[a，b]时，f（x）的取值范围恰为[a，b]，则称函数f（x）是D上的正函数，区间[a，b]叫做等域区间，
（1）已知是[0，+∞)上的正函数，求f（x）的等域区间；
（2）试探究是否存在实数m，使得函数g（x）=x²+m是（-∞，0）上的正函数？若存在，请求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）因为是[0，+∞)上的正函数，且在[0，+∞)上单调递增，
所以当x∈[a，b]时，，
解得a=0，b=1，
故函数f（x）的“等域区间”为[0，1]；
（2）因为函数是（-∞，0）上的减函数，
所以当x∈[a，b]时，，
两式相减得，即b=-（a+1），
代入，
由a＜b＜0，且b=-（a+1）得，
故关于a的方程内有实数解，
记，
则，解得。