Question

已知a_n=

C

n 200

（

3	6

）^200-n×（

1

2

）ⁿ，（n=1，2，…，95）则数列{a_n}中整数项的个数为

16

．

Answer 1

分析：由a_n=

C

n 200

•2

400-5n

6

•3

200-n

3

（n=1，2，…，95），通过对n取值的探讨，使得

400-5n

6

与

200-n

3

均为整数，对应的a_n为整数项即刻．

解答：解：∵a_n=

C

n 200

（

3	6

）^200-n•（

1

2

）ⁿ
=

C

n 200

•2

200-n

3

-

1

2

n•3

200-n

3

=

C

n 200

•2

400-5n

6

•3

200-n

3

（n=1，2，…，95），
经验证，当n=2时，

400-5×2

6

=65，

200-2

3

66，a₃为整数项，
同理可得，当n=8，14，…92时，

400-5n

6

与

200-n

3

均为整数，对应的a_n为整数项．
∵2，8，14，…92是以2为首项，6为公差的等差数列，
由等差数列的通项公式得：92=2+（n-1）×6得：
n=16．
故数列{a_n}中整数项的个数为16．

点评：本题考查二项式定理的应用，着重考查整除问题与等差数列的通项公式，考查化归思想与分析运算能力，属于中档题．