Question

如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=2，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．
（1）证明：PA∥平面EDB；
（2）证明：PB⊥平面EFD．

Answer 1

解：（1）证明：连接AC，AC交BD于O．连接EO
∵底面ABCD是正方形，
∴点O是AC的中点
∴在△PAC中，EO是中位线，
∴PA∥EO，
∵EO?平面EDB，且PA?平面EDB，
∴PA∥平面EDB
（2）证明：∵PD⊥底面ABCD，且DC?底面ABCD，
∴PD⊥DC
∵底面ABCD是正方形，
∴DC⊥BC，
∴BC⊥平面PDC
∵DE?平面PDC，
∴BC⊥DE
又∵PD=DC，E是PC的中点，
∴DE⊥PC
∴DE⊥平面PBC
∵PB?平面PBC，
∴DE⊥PB
又∵EF⊥PB，且DE∩EF=E，
∴PB⊥平面EFD。