Question

已知函数f（x）=ax³+bx²在x=-1时取得极值，曲线y=f（x）在x=1处的切线的斜率为12；函数g（x）=f（x）+mx，x∈[1，+∞），函数g（x）的导函数g'（x）的最小值为0．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）求实数m的值；
（Ⅲ） 求证：g（x）≥-7．

Answer 1

分析：（I）求出f（x）的导数，令导数在-1处的值为0，在x=1处的值为12，列出方程组，求出a，b的值．
（II）求出g（x）的导函数，求出导函数的对称轴，判断出g'（x）的单调性，求出导函数的最小值，列出方程，求出m
（III）利用导函数的符号，判断出g（x）的单调性，求出g（x）的最小值．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=ax³+bx²，
∴f'（x）=3ax²+2bx．
由题意有

f′(-1)=3a-2b=0 f′(1)=3a+2b=12

，
解得

a=2 b=3

．
∴函数f（x）的解析式为f（x）=2x³+3x²．
（Ⅱ）g（x）=f（x）+mx=2x³+3x²+mx，x∈[1，+∞），
g′(x)=6x2+6x+m=6(x+

1

2

)2-

3

2

+m在[1，+∞）单调递增
∴[g'（x）]_min=g'（1）=12+m=0，
∴m=-12．
（Ⅲ）g（x）=2x³+3x²-12x，x∈[1，+∞），
由（Ⅱ）知，当x=1时，g'（x）=0，
当x＞1时，g'（x）＞0，∴g（x）在[1，+∞）上是增函数．
∴g（x）≥g（1）=2+3-12=-7．

点评：导函数在极值点处的导数值为0；函数在切点处的值为曲线在切点处的斜率这是导数的几何意义；二次函数的最值与对称轴与区间的相对位置有关．