题目内容
根据如图所示的程序框图，将输出a，b的值依次分别记为a1，a2，…，an，…，a2008；b1，b2，…，bn，…，b2008．
（Ⅰ）求数列 { an} 的通项公式；
（Ⅱ）写出b1，b2，b3，b4，由此猜想{ bn}的通项公式，并证明你的证明；
（Ⅲ）在 ak与 ak+1中插入bk+1个3得到一个新数列 { cn }，设数列 { cn }的前n项和为Sn，问是否存在这样的正整数m，使数列{ cn }的前m项的和Sm=2008，如果存在，求出m的值，如果不存在，请说明理由．
．
（Ⅰ）求数列 { an} 的通项公式；
（Ⅱ）写出b1，b2，b3，b4，由此猜想{ bn}的通项公式，并证明你的证明；
（Ⅲ）在 ak与 ak+1中插入bk+1个3得到一个新数列 { cn }，设数列 { cn }的前n项和为Sn，问是否存在这样的正整数m，使数列{ cn }的前m项的和Sm=2008，如果存在，求出m的值，如果不存在，请说明理由．
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（Ⅰ）a1=1，an+1=an+1，∴{ an}是公差为1的等差数列．∴an=n．
（Ⅱ）b1=0，b2=2，b3=8，b4=26，
猜想bn=3n-1-1．证明如下：bn+1=3bn+2，bn+1+1=3（bn+1），
∴{ bn+1}是公比为3的等比数列．∴bn+1=（b1+1）3n-1=3n-1．则bn=3n-1-1．
（Ⅲ）数列{cn}中，ak项（含ak）前的所有项的和是（1+2+…+k）+（31+32+…+3k-1）=
+
，
估算知，当k=7时，其和是28+
=1120＜2008，当k=8时，其和是36+
=3315＞2008，又因为2008-1120=888=296×3，是3的倍数，
故存在这样的m，使得Sm=2008，此时m=7+（1+3+32+…+35）+296=667．
（Ⅱ）b1=0，b2=2，b3=8，b4=26，
猜想bn=3n-1-1．证明如下：bn+1=3bn+2，bn+1+1=3（bn+1），
∴{ bn+1}是公比为3的等比数列．∴bn+1=（b1+1）3n-1=3n-1．则bn=3n-1-1．
（Ⅲ）数列{cn}中，ak项（含ak）前的所有项的和是（1+2+…+k）+（31+32+…+3k-1）=
| k(k+1) |
| 2 |
| 3k-3 |
| 2 |
估算知，当k=7时，其和是28+
| 37-3 |
| 2 |
| 38-3 |
| 2 |
故存在这样的m，使得Sm=2008，此时m=7+（1+3+32+…+35）+296=667．
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