Question

如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=2，AF=1，M是线段EF的中点.

(1)求证：AM∥平面BDE；

(2)求证：AM⊥平面BDF.

Answer 1

证明：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，设AC∩BD=N，连结NE.

则点N、E的坐标分别为(,,0)、(0,0,1).

∴=(,,1).

又点A、M的坐标分别是(,,0)、(,,1),

∴=(,,1).∴且NE与AM不共线.

∴NE∥AM.

又∵NE平面BDE，AM平面BDE,

∴AM∥平面BDE.

(2)同(1)，=(,式,1),

∵D(,0,0),F(,,1),

∴=(0,,1).∴.∴.

同理.又DF∩BF=F，∴AM⊥平面BDF.

启示：用向量知识证立体几何问题仍需判定(或性质)定理.欲证线面平行只需证线线平行；欲证线面垂直需证线线垂直.