Question

【题目】已知点，圆．

（）设，求过点且与圆相切的直线方程．

（）设，直线过点且被圆截得的弦长为，求直线的方程．

（）设，直线过点，求被圆截得的线段的最短长度，并求此时的方程．

Answer 1

【答案】（1）切线方程为或；（2）直线的方程为或；（3）方程为即.

【解析】试题分析：（1）已知直线上一点，设出直线方程，点斜式，再根据直线和圆的位置关系，，解得，求得方程。（2）根据垂径定理，即圆心到直线的距离为，得到结果。（3）首先要分析出来线段最短时直线和圆的位置关系：，故当时，，再根据垂径定理得到直线的斜率。

（）解：如图所示，此时，

设切线为或，

验证知与题意相符；

当切线为，即时，

圆心到切线的距离

，解得，

所以，切线方程为或．

（）如图所示，此时，

设直线为或（舍），

设弦的中点为，则，，

所以，即圆心到直线的距离为，

于是，解得或，

所以，直线的方程为或．

（）如图所示，此时，

设所截得的线段为，圆心到直线的距离为，则

，

即，因为直线过点，

所以圆心到直线的距离为

，故当时，，

此时，因为，所以，

故直线方程为，即．