Question

下列四个命题：（1）奇函数f（x）在（-∞，0）上增函数，则（0，+∞）上也是增函数．（2）若函数f（x）=ax²+bx+2与x轴没有交点，则b²-8a＜0且a＞0；（3）y=x²-2|x|-3的递增区间为[1，+∞）；（4）函数f（x）的定义域为R*，若f（x+y）=f（x）+f（y），f（8）=3，则f（2）=
其中正确命题的序号为________．

Answer 1

解：选项（1）正确，由奇函数在对称区间的单调性相同可得；
选项（2）错误，函数f（x）=ax²+bx+2与x轴没有交点，还可能b²-8a＜0且a＜0，或a=b=0；
选项（3）错误，y=x²-2|x|-3=，可知函数的单调递增区间为（-1，0）和[1，+∞）；
选项（4）正确，∵f（x+y）=f（x）+f（y），f（8）=3，∴f（8）=f（4+4）=f（4）+f（4）
=f（2+2）+f（2+2）=4f（2）=3，故f（2）=．
故答案为：（1）（4）
分析：由函数的性质，逐个选项验证即可：选项（1）奇函数在对称区间的单调性相同；选项（2）分类思想，还可能b²-8a＜0且a＜0，或a=b=0；选项（3）单调递增区间为（-1，0）和[1，+∞）；选项（4）充分利用f（x+y）=f（x）+f（y）和f（8）=3易得结果．
点评：本题考查函数的性质，涉及单调性、奇偶性、二次函数和抽象函数，属基础题．