Question

7．f（x）的定义域为[0，1]，求f（x²+m）+f（x-m）的定义域．

Answer 1

分析 通过f（x）的定义域为[0，1]，得到0≤x²+m≤1，0≤x-m≤1，通过讨论m的范围，求出不等式组的解集，从而确定函数的定义域．

解答 解：∵f（x）的定义域为[0，1]，
∴0≤x≤1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0{≤x}^{2}+m≤1}\\{0≤x-m≤1}\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}{-m{≤x}^{2}≤1-m①}\\{m≤x≤1+m②}\end{array}\right.$
（1）m＜0时，解①得：-$\sqrt{1-m}$≤x≤-$\sqrt{-m}$或$\sqrt{-m}$≤x≤$\sqrt{1-m}$，
1+m≤0，-$\sqrt{1-m}$＜m＜1+m＜$\sqrt{1-m}$，
∴m≤x≤1+m；
（2）m=0时，0≤x≤1；
（3）m＞0时，显然-m＜0，①转化为x²≤1-m，
若1-m＞0，即0＜m＜1时，解得：-$\sqrt{1-m}$≤x≤$\sqrt{1-m}$，
而m≤x≤1+m，-$\sqrt{1-m}$＜0＜m，令$\sqrt{1-m}$=m，解得：m=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
0＜m≤$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$时，得：-$\sqrt{1-m}$＜m＜$\sqrt{1-m}$＜1+m，
∴m≤x≤$\sqrt{1-m}$，
$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$＜m时，得：-$\sqrt{1-m}$＜$\sqrt{1-m}$＜m＜1+m，
不等式组无解；
综上：m≤0时，函数的定义域是[m，1+m]，
0＜m≤$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$时，函数的定义域是[m，$\sqrt{1-m}$]，
m＞$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，函数式无意义．

点评 本题考查了函数的定义域问题，考查解不等式组问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．