Question

已知圆C经过A（1，1），B（2，-2），且圆心C在直线l：x-y+1=0 上，求圆C的方程．

Answer 1

分析：由A和B的坐标，求出直线AB的斜率，根据两直线垂直时斜率的乘积为-1求出线段AB垂直平分线的斜率，再由A和B的坐标，利用线段中点坐标公式求出线段AB的中点坐标，由中点坐标和求出的斜率，得出线段AB垂直平分线的方程，与直线l联立组成方程组，求出方程组的解集得到圆心C的坐标，再由C和A的坐标，利用两点间的距离公式求出|AC|的值，即为圆C的半径，由圆心和半径写出圆C的标准方程即可．

解答：解：∵A（1，1），B（2，-2），
∴k_AB=

1-(-2)

1-2

=-3，
∴弦AB的垂直平分线的斜率为

1

3

，
又弦AB的中点坐标为（

1+2

2

，

1-2

2

），即（

3

2

，-

1

2

），
∴弦AB的垂直平分线的方程为y+

1

2

=

1

3

（x-

3

2

），即x-3y-3=0，
与直线l：x-y+1=0联立，解得：

x=-3 y=-2

，
∴圆心C坐标为（-3，-2），
∴圆的半径r=|AC|=

42+32

=5，
则圆C的方程为（x+3）²+（y+2）²=25．

点评：此题考查了圆的一般方程，涉及的知识有：两直线垂直时斜率满足的关系，垂径定理，两直线的交点坐标，线段中点坐标公式，以及两点间的距离公式，求出圆心坐标和半径是解本题的关键．