Question

已知函数f（x）=．
（Ⅰ）判断f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）判断f（x）的单调性，并加以证明；
（Ⅲ）写出f（x）的值域．

Answer 1

解：（Ⅰ）由题意可得：x∈R，所以定义域关于原点对称．
又因为 f（x）===
所以f（-x）===-f（x），
所以f（x）是奇函数．
（Ⅱ）f（x）===1-，在R上是增函数，
证明如下：任意取x₁，x₂，并且x₁＞x₂∴
则 f（x₁）-f（x₂）=-=＞0
所以f（x₁）＞f（x₂），则f（x）在R上是增函数．
（Ⅲ）∵0＜＜2
∴f（x）=1-∈（-1，1），
所以f（x）的值域为（-1，1）．
分析：（Ⅰ）因为x∈R，所以定义域关于原点对称．又因为 f（-x）=-f（x），所以f（x）是奇函数．
（Ⅱ）任意取x₁，x₂，并且x₁＞x₂∴，则 f（x₁）-f（x₂）=＞0，所以f（x）在R上是增函数．
（Ⅲ）∵0＜＜2∴f（x）=1-∈（-1，1），进而得到答案．
点评：解决此类问题的关键是熟练掌握函数的有关性质，如奇偶性、单调性、周期性、值域与定义域等性质．