Question

若∠B=60°，O为△ABC的外心，点P在△ABC所在的平面上，=++，且•=8，则边AC上的高h的最大值为    ．

Answer 1

【答案】分析：根据题意，得点P是△ABC的垂心，从而•=0，将•化简为•=8，结合∠B=60°算出•和三角形ABC的面积．利用余弦定理，算出当且仅当==4时，有最小值为4，结合三角形面积为4，可得AC上的高h的最大值为2．
解答：解：∵O为△ABC的外心，=++，
∴点P是△ABC的垂心，即P是三条高线的交点
∴•=（+）=8
∵•=0，∴•=8
∵∠B=60°，∴•cos60°=8，得•=16
根据正弦定理的面积公式，得S_△ABC=•sin60°=4
∵=+-2•cos60°=+-16
+≥2•=32
∴≥16，得当且仅当==4时，有最小值为4
∵S_△ABC=•h=4，h是边AC上的高
∴h≤=2，当且仅当===4时，边AC上的高h的最大值为2
故答案为：2
点评：本题在△ABC中，已知一个角和两边长度之积，求另一边上高的最大值，着重考查了三角形外心与垂直的联系、平面向量数量积的运算性质和正余弦定理等知识，属于中档题．