Question

已知椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在y轴上，离心率，椭圆上的点到焦点的最短距离为, 直线l与y轴交于点P（0，m），与椭圆C交于相异两点A、B，且.（1）求椭圆方程；（2）求的取值范围．

Answer 1

解：（1）设C：＋＝1（a>b>0），设c>0，c²＝a²－b²，由条件知a-c＝1-，＝，∴a＝1，b＝c＝       故C的方程为：y²＋＝1 --------------------------4 

（2）当直线斜率不存在时： --------------------------------------------------6

当直线斜率存在时：设l与椭圆C交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）

得（k²＋2）x²＋2kmx＋（m²－1）＝0  --------------8 

Δ＝（2km）²－4（k²＋2）（m²－1）＝4（k²－2m²＋2）>0 （*） 

x₁＋x₂＝，①   x₁x₂＝　 ②  ∵＝3 ∴－x₁＝3x₂ ③  ---10

由①②③消去x_1，x₂，∴3（）²＋4＝0……9分整理得4k²m²＋2m²－k²－2＝0　                  

m²＝时，上式不成立；m²≠时，k²＝，  ∴k²＝0，∴或 把k²＝代入（*）得或_-----12

∴或……11分,综上m范围为或