Question

如图，三棱锥P-ABC的顶点P在圆柱曲线O₁O上，底面△ABC内接于⊙O的直径，且∠ABC=60°，O₁O=AB=4，⊙O₁上一点D在平面ABC上的射影E恰为劣弧AC的中点．
（1）设三棱锥P-ABC的体积为

3

3

，求证：DO⊥平面PAC；
（2）若⊙O上恰有一点F满足DF⊥平面PAC，求二面角D-AC-P的余弦值．

Answer 1

分析：法一（几何法）：（1）连接DE，OE，，设OE与AC的交点为G，连接PG，由题设条件知可先证明DO⊥AC，再证明DO⊥PG，然后由线面垂直的判断定理证明DO⊥平面PAC；
（2）由题设条件及图知，可证明∠DGP即为二面角D-AC-P的平面角，然后在△DGP中，由余弦定理可求得cos∠DGP=

3 34

34

．
法二（空间向量法）：（1）可建立空间坐标系，求出直线DO的方向向量与平面PAC内两条相交直线的方向向量，然后根据向量的数量积为0证明此线垂直于平面内两条相交直线，从而由线面垂直的判定定理证明得线面垂直；
（2）由题意可得DF⊥平面PAC，设点F的坐标为（x，y，0），故

DF

=(x-

3

，y+1，-4)即为平面PAC的法向量，设平面DAC的法向量

n

=(x，y，z)，由题设条件建立方程解出此两向量的坐标，求出此向量的夹角即可得到两平面所成的锐二面角．

解答：解：法一：（1）连接DE，OE，，设OE与AC的交点为G，连接PG，因为三角形ABC内接于圆O，AB为圆O的直径，所以三角形ABC为直角三角形，
又∠ABC=60°，AB=4，又BC=2，AC=2

3

，S△ABC=2

3

，所以VP-ABC=

1

3

S△ABC×PO=

2 3

3

PO=

3

3

，故PO=

1

2

，
因为E是劣弧AC的中点，所以OE⊥AC，OG=

1

2

BC=1，
又因为DE⊥平面ABC，故DE⊥AC，所以AC⊥平面DEOO₁，故DO⊥AC．
在矩形DEOO₁中，tan∠PGO=

PO

OG

=

1

2

，tan∠DOO1=

DO1

OO1

=

1

2

，
故∠PGO=∠DOO₁，
又∠DOO1+∠DOG=900，故∠PGO+∠DOG=90°，
所以DO⊥PG，
所以DO⊥平面PAC．
（2）由（1）知，AC⊥平面DEOO₁，
所以平面DEOO₁⊥平面PAC，
因为DF⊥平面PAC，
所以DF?平面DEOO₁，且DF⊥PG，
又F在圆O上，故点F即为点E关于点O的对称点，在轴截面内可求得PO=OG=1，
所以PG=

2

，DG=

17

，DP=

13

．
由AC⊥平面DEOO₁，得∠DGP即为二面角D-AC-P的平面角，
在△DGP中，由余弦定理可求得cos∠DGP=

3 34

34

 法二：（1）在平面ABC中，过点O作AB的垂线，交弧EC于H，
如图建立空间直角坐标系，因为△ABC内接于圆O，AB为圆O的直径，所以△ABC为直角三角形，又∠ABC=60°，AB=4，
故BC=2，AC=2

3

，S△ABC=2

3

，
所以VP-ABC=

1

3

S△ABC×PO=

2 3

3

PO=

3

3

，
故PO=

1

2

，
故A(0，-2，0)，C(

3

，1，0)，P(0，0，

1

2

)，D(

3

，-1，4) 
所以

AC

=(

3

，3，0)，

AP

=(0，2，

1

2

)，

OD

=(

3

，-1，4) 
所以

AC•

OD

=0，

AP

•

OD

=0
故AC⊥OD，AP⊥OD，
又AC∩AP=A，
所以DO⊥平面PAC．
（2）设点F的坐标为（x，y，0），
故

DF

=(x-

3

，y+1，-4)．
因为DF⊥平面PAC，故DF⊥AC，
所以

3

x+3y=0，
又因为F点在圆O上，所以x²+y²=4解得

x=- 3 y=1

或

x= 3 y=-1

（即为点E，舍去），所以

DF

=(-2

3

，2，-4)，
设平面DAC的法向量

n

=(x，y，z)，
则有

AD ? n =0 AC ? n =0

，，即

3 x+y+4z=0 3 x+3y=0

，
取x=

3

，则

n

=(

3

，-1，-

1

2

)．
则cos＜

n

，

DF

＞=-

3 34

34

，
由图知D-AC-P的二面角为锐角，所以二面角D-AC-P的余弦值为

3 34

34

．

点评：本题考查线面垂直的证明与二面角的求法，是立体几何中的常规题，解答本题常用的方法有向量法与几何法，本题给出两种解法，学习时要注意对比两种解题方法的优劣，体会向量法解立体几何问题的优势