Question

已知函数y=f（x），若存在x₀，使得f（x₀）=x₀，则x₀称是函数y=f（x）的一个不动点，设．
（1）求函数y=f（x）的不动点；
（2）对（1）中的二个不动点a、b（假设a＞b），求使恒成立的常数k的值；
（3）对由a₁=1，a_n=f（a_n-1）定义的数列{a_n}，求其通项公式a_n．

Answer 1

解：（1）设函数y=f（x）的一个不动点为x₀，
则
（2）由（1）可知
可知使恒成立的常数k=8．
（3）由（2）知
可知数列为首项，8为公比的等比数列
即以为首项，8为公比的等比数列．则
∴．
分析：（1）设函数y=f（x）的一个不动点为x₀，然后根据不动点的定义建立方程，解之即可；
（2）由（1）可知，代入可求出常数k的值；
（3）由（2）可知数列为首项，8为公比的等比数列，然后求出通项，即可求出数列{a_n}的 通项公式．
点评：本题主要考查了函数恒成立问题，以及等比数列求通项，同时考查了前后问题之间的联系，属于中档题．