Question

已知函数f(x)=

1

2

x2-x+lnx．
（I）求函数f（x）图象上所有点处的切线的倾斜角范围；
（II）若F（x）=f（x）-ax，a∈R，讨论F（x）的单调性．

Answer 1

分析：（I）先求函数f（x）的导函数f′（x），再利用均值定理求导函数的值域即切线斜率的取值范围，最后由斜率定义及正切函数图象求得切线的倾斜角范围
（II））先求函数F（x）的导函数F′（x），再将求函数单调区间问题转化为解含参数的一元二次不等式问题，通过分类讨论即可解决问题

解答：解：（I）函数的定义域为（0，+∞），f′（x）=x+

1

x

-1≥2

x× 1 x

-1=1  （当且仅当x=1时取等号）
∴函数f（x）图象上所有点处的切线的斜率k≥1
∴切线的倾斜角θ满足tanθ≥1，θ∈[0，π）
∴θ∈[

π

4

，

π

2

）
（II）F（x）=f（x）-ax=

1

2

x2-(a+1)x+lnx，
∴F′（x）=x+

1

x

-（a+1）=

x2-(a+1)x+1

x

  （x＞0）
令g（x）=x²-（a+1）x+1 （x＞0）
△=（a+1）²-4=（a+3）（a-1）
∴当a＜-3时，△＞0，方程g（x）=0的两实根为x₁=

a+1+ (a+1)2-4

2

＜0，x₂=

a+1- (a+1)2-4

2

＜0
∴x＞0时，g′（x）＞0，∴F′（x）＞0，∴F（x）在（0，+∞）上单调递增
当a＞1时，△＞0，方程g（x）=0的两实根为x₁=

a+1+ (a+1)2-4

2

＞0，x₂=

a+1- (a+1)2-4

2

＞0且x₁＞x₂
∴F（x）在（0，

a+1- (a+1)2-4

2

），（

a+1+ (a+1)2-4

2

，+∞）上单调递增，在（

a+1- (a+1)2-4

2

，

a+1+ (a+1)2-4

2

）上单调递减．
当-3≤a≤1时，△≤0，g′（x）≥0，∴F（x）在（0，+∞）上单调递增
综上所述：a≤1时，F（x）在（0，+∞）上单调递增
当a＞1时，F（x）在（0，

a+1- (a+1)2-4

2

），（

a+1+ (a+1)2-4

2

，+∞）上单调递增，在（

a+1- (a+1)2-4

2

，

a+1+ (a+1)2-4

2

）上单调递减．

点评：本题考查了导数的运算和导数的几何意义，利用导数求函数的单调区间的方法，分类讨论的思想方法，转化化归的思想方法