Question

抛物线x²=4y内接Rt△OAB（O为坐标原点）的斜边AB过点（　　）

A．（4，0）

B．（2，0）

C．（0，4）

D．（0，2）

Answer 1

分析：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线OA的方程为y=kx，则直线OB的方程为：y=-

1

k

x．与椭圆的方程联立可得A、B的坐标，利用点斜式方程可得直线AB的方程，进而得出过定点．

解答：解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线OA的方程为y=kx，
∵OA⊥OB，∴直线OB的方程为：y=-

1

k

x．
联立

y=kx x2=4y

，解得A（4k，4k²）．
同理解得B(

-4

k

，

4

k2

)．
∴kAB=

4k2- 4 k2

4k+ 4 k

=k-

1

k

．
∴斜边AB所在直线方程为y-4k²=（k-

1

k

）（x-4k）．
令x=0，则y=4
∴抛物线x²=4y内接Rt△OAB（O为坐标原点）的斜边AB过点（0，4）．
故选C．

点评：本题考查了直线与抛物线相交问题转化为方程联立解得交点、相互垂直的直线的斜率之间的关系、直线过定点等基础知识与基本技能方法，属于基础题．