Question

已知函数．
（1）若函数f（x）在其定义域内为单调函数，求实数a的取值范围；
（2）若函数f（x）的图象在x=1处的切线的斜率为0，且．
①若a₁≥3，求证：a_n≥n+2；
②若a₁=4，试比较与 的大小，并说明你的理由．

Answer 1

解：（1）∵f（1）=a﹣b=0，∴a=b，∴，∴f '（x）=a+﹣．
要使函数f（x）在定义域（0，+∞）内为单调函数，
则在（0，+∞）内f '（x）恒大于0或恒小于0，
当a=0时，f '（x）=﹣＜0在（0，+∞）内恒成立；
当a＞0时，要使f '（x）=a（﹣）2+a﹣＞0恒成立，则a﹣＞0，解得a＞1，
当a＜0时，要使f '（x）=a（﹣）2+a﹣＞＜0恒成立，则a﹣＜0，解得a＜﹣1，
所以a的取值范围为a＞1或a＜﹣1或a=0．
（2）①∵函数f（x）的图象在x=1处的切线的斜率为0，
∴f '（1）=0，即a+a﹣2=0，解得 a=1
∴f '（x）=（﹣1）2，a _n+1=a_n²﹣na_n+1
下面用数学归纳法证明：
（Ⅰ）当n=1，a₁≥3=1+2，不等式成立；
（Ⅱ）假设当n=k时，不等式成立，即：a_k≥k+2，∴a_k﹣k≥2＞0，
∴a _k+1=a_k（a_k﹣k ）+1≥2（k+2）+1=（ k+3）+k+2＞k+3也就是说，
当n=k+1时，a _k+1≥（k+1）+2成立
根据（Ⅰ）（Ⅱ）对于所有n≥1，都有a_n≥n+2成立
②由①得a_n=a _n﹣1（a _n﹣1﹣2n+2）+1≥a _n﹣1[2（n﹣1）+2﹣2n+2]+1=2a _n﹣1+1，
于是a _n+1≥2（a _n﹣1+1）（n≥2），
所以a₂+1≥2（a₁+1），a₃+1≥2（a₂+1）…，a_n+1≥2（a _n﹣1+1）
累乘得：a _n+1≥ 2 ^n﹣1（a₁+1），
则≤ （n≥2），
≤ （1++…+ ）= （1﹣ ）＜．