题目内容

设函数fn(x)=1-x+
x2
2
-
x3
3
+…+(-1)n
xn
n
，其中n为正整数，则集合M={xf1（f4（x））=0，x∈R}中元素个数是（　　）
分析：先分别表示f1（x），f4（x），进而可知 x=0是方程的根，利用导数法研究1-
x 
2
+
x2
3
-
x3
4
=0的根，从而得解．
解答：解：由题意，f1(x)=1-x，f4(x)=1-x+
x2
2
-
x3
3
+
x4
4

∴f1（f4（x））=x-
x2
2
+
x3
3
-
x4
4
=x(1-
x 
2
+
x2
3
-
x3
4
)=0
∴x=0是方程的根
又令y=1-
x 
2
+
x2
3
-
x3
4
，∴y/=-
1
2
+
2x 
3
-
3x2
4
＜0
∴该函数为单调函数，从而对应的方程有唯一的根
∴集合M={xf1（f4（x））=0，x∈R}中元素个数是2个
故选C．
点评：本题以函数为载体，考查集合知识，考查方程的根，关键是表示出方程，进而可以解决．
练习册系列答案
相关题目
设函数fn(x)=1-x+
x2
2
-
x3
3
+…-
x2n-1
2n-1
(n∈N*)．
（Ⅰ）研究函数f2（x）的单调性；
（Ⅱ）判断fn（x）=0的实数解的个数，并加以证明．
设函数fn(x)=-1+
x
1!
+
x2
2!
+…+
xn
n!
，(x∈R，n∈N*)
（1）证明对每一个n∈N*，存在唯一的xn∈[
1
2
，1]，满足fn（xn）=0；
（2）由（1）中的xn构成数列{xn}，判断数列{xn}的单调性并证明；
（3）对任意p∈N*，xn，xn+p满足（1），试比较|xn-xn+p|与
1
n
的大小．
设函数fn(x)=1-x+
x2
2
-
x3
3
+…+(-1)n
xn
n
，n∈N*．
（Ⅰ）试确定f3（x）和f4（x）的单调区间及相应区间上的单调性；
（Ⅱ）说明方程f4（x）=0是否有解，并且对正整数n，给出关于x的方程fn（x）=0的解的一个一般结论，并加以证明．
（2013•广州一模）已知n∈N*，设函数fn(x)=1-x+
x2
2
-
x3
3
+…-
x2n-1
2n-1
，x∈R．
（1）求函数y=f2（x）-kx（k∈R）的单调区间；
（2）是否存在整数t，对于任意n∈N*，关于x的方程fn（x）=0在区间[t，t+1]上有唯一实数解？若存在，求t的值；若不存在，说明理由．

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